Risque systémique solaire, tremblements de terre et loi de puissance

L'échelle mesurant le risque solaire est-elle bien adaptée?

Un point m’intriguait depuis un moment : essayer de préciser le degré criticité du risque lié aux éruptions solaires par rapport à d’autres formes de risques environnementaux connus, en particulier le « risque sismique » qui lui est suivi et éprouvé depuis longtemps par l'homme.

A contrario, le risque solaire est mal connu, tout du moins en regard des effets destructeurs qu'il pourrait avoir sur la société actuelle. Cette société qui en l'espace d'à peine quelques décennies est devenue une "société de l'information", dont l'activité repose massivement sur des moyens réseaux et télécom, y est devenu extrêmement sensible. Et comme, pour ainsi dire, cette société émerge à peine de son enfance, elle n'a guère eu pour l'instant l'occasion de vivre "l'épreuve du feu" : c'est pourquoi, nous devrions être particulièrement vigilants.

En l’occurrence, le fait qu’en l’espace de 20 ans nous ayons eu par au moins deux fois des événements qui dépassaient largement l’échelle d’évaluation du flux de rayonnement X émis par le soleil (exprimés en watts / m²) était intriguant : soit cette échelle est très mal calibrée, (auquel cas nous sommes loin d’avoir vu le pire !), soit nous avons eu affaire à effectivement des éruptions excessivement rares et exceptionnelles.

Échelle de mesure des éruptions (National Oceanic and Atmospheric Administration, USA)

Les éruptions solaires sont classées en différentes catégories selon l'intensité maximale de leur flux (en Watts par mètres carrés, W/m2) dans la bande de rayonnement X de 1 à 8 Ångström au voisinage de la terre. Ces mesures sont collectées par l'un des satellites du programme GOES X-ray (Geostationary Operational Environmental Satellite) et on leur fait correspondre une échelle qui s’exprime sous la forme de différentes classes nommées A, B, C, M et X. Cela nous donne ainsi une lecture simple et accessible de l'ordre de grandeur d'une éruption solaire ("solar flare") :

Classe de l'éruption	Flux, mesuré dans l'intervalle 0.1-0.8 nm exprimé en W·m-2	Echelle comparée des Blackouts Radio
X	I > = 10-4	R3, R4, R5
M	10-5 < = I < 10-4	R1, R2
C	10-6 < = I < 10-5	-
B	10-7 < = I < 10-6	-
A	I < 10-7	-

Chaque classe correspond à une éruption solaire d'une intensité dix fois plus importante que la précédente, où la classe X correspond aux éruptions solaires ayant une intensité de 10^-4 W/m². C'est donc une échelle logarithmique, à l'instar sur Terre de l'échelle de Richter. Cette classification est nécessaire car l'énergie des éruptions peut couvrir plusieurs degrés de magnitude suivant une distribution de la fréquence des éruptions proportionnelle à l'inverse de l'énergie totale émise.

Au sein d'une même classe, les éruptions solaires sont numérotées de 1 à 10 selon une échelle linéaire (ainsi, une éruption solaire de classe X2 est deux fois plus puissante qu'une éruption de classe X1, et 4 fois plus puissante qu'une éruption de classe M5).

L'échelle utilisée pour le soleil semble aisément pouvoir être dépassée ...

Cette échelle est ouverte. Or, comme je le soulignais précédemment, deux des plus puissantes éruptions solaires qui ont été enregistrées par les satellites du programme GOES, le 16 août 1989 et le 2 avril 2001, étaient de classe X20 (2 mW/m2). Soit déjà bien au-delà du X10 qui marque la "fin" de l'échelle initialement envisagée. Elles ont été elle-mêmes surpassées le 4 novembre 2003, par l'éruption la plus importante jamais enregistrée, estimée à X28 (heureusement pas dirigée vers la Terre).

Ces mesures s'étalant sur 20 ans, cela ne représente qu'à peine le temps de deux battements de coeur à l'échelle de vie de notre soleil. Et pour le record de 2003: autant dire que c'était hier. C'est dire le peu de recul que nous avons sur cette échelle et sa pertinence.

En limite du limbe solaire le 04 Novembre 2003 à 19h50 UT, la tache 0486 a saturé à X17.4 les détecteurs de rayons X du satellite GOES chargé de la surveillance du Soleil. Le satellite a été aveuglé pendant 11 minutes. L'éclat a été reclassifié quelques jours plus tard en X28 mais quelques chercheurs pensent que l'éclat a avoisiné les X40. Heureusement pour la Terre, l'éjection n'était pas directement dirigée vers celle-ci ! Les relevés de mesure réalisés par le programme GOES X-Ray sont accessibles en quasi-temps réel. Une synthèse sur cette page

Il est difficile (par manque de recul) d'évaluer l'impact que pourrait avoir une éruption solaire en fonction de sa puissance, néanmoins nous pouvons essayer d'en avoir une petite idée en fonction d'éléments déjà connus:

X??	La terre "s'arrête" : Black-out total. Plus d’Internet, plus de télécoms, plus de GPS, plus d’électricité, les avions tombent, les voitures, les ascenseurs se bloquent, etc... Destruction totale de l'infosphère, de l'économie et de la finance mondiale. La terre s'enveloppe d'une brume acre et poisseuse. La température chute, un petit age glaciaire est à prévoir. Voir le scénario présenté sur ce site.
X40-X50	Voir l'éruption solaire de 1859: un mega-orage magnétique qui fait sauter les lignes électriques et les moyens de production d'énergie. Destruction d'un grand nombre de satellites et de nombreux équipements électroniques au sol sont en rade. Plusieurs mois de réparation sont nécessaires. Le ciel du globe devient rouge jusqu'aux latitudes les plus basses. L'éruption de 1859 qui n'a pas pu être directement mesurée, mais a laissé des traces dans les glaces du Groenland, a été catégorisée entre X40 et X50, correspondant à une énergie comprise entre 4 mW/m2 et 5 mW/m2.
X20	Le 13 mars 1989, à 2 h 46 du matin, un orage magnétique de cette intensité provoque une coupure d'électricité qui paralyse le Québec. Il provoque également un Black-out radio de plusieurs heures. Plusieurs lignes électriques situées entre Montréal et Baie-James se décrochent, provoquant pendant 9 heures l'effondrement du réseau électrique d’Hydro Québec et des départs de feu. Les pertes provoquées par cet événement furent estimées à plusieurs centaines de millions d’euros.

Probabilité et fréquence des événements de forte intensité

Sommes nous finalement à l'abri d'une catastrophe de grande envergure, sans dire quand cela peut arriver, pouvons nous avoir une idée de la fréquence de tels événements ? Cela revient à se poser la question suivante : « Quelle est la fonction de répartition de phénomènes aléatoires qui fournit leur fréquence en fonction de leur degré de puissance/d’intensité ? »

Nous avons là un phénomène dont la puissance suit une courbe logarithmique, à l'inverse de sa fréquence.

Ce type de répartition correspond à une classe de phénomène dont la densité de probabilité peut-être approximée par une fonction de puissance du type b.x^a et que l'on retrouve sous l'appellation "loi de Pareto". Ces phénomènes correspondent généralement à des phénomènes rares et extrêmes : ouragan, tremblement de terre ou inondation, crues, crises financières, krachs, chocs pétroliers, etc. Il s'agit d'un champ de recherches particulièrement actif, notamment par l'importance de leurs impacts économiques et sociaux (voir Théorie des Valeurs Extrêmes - TVE).

Loi de puissance, loi normale et autres fonctions de répartition de la densité de probabilité

La première loi de puissance reconnue historiquement a été la loi de Pareto, dans le domaine économique, puisque c’est Pareto qui l’a ainsi découverte : il ainsi remarqué que 20% de la population possédait 80% de la richesse de son pays… En effet, en projetant sur un papier log/log la répartition des richesses de son pays par famille il s'est aperçu que cela dessinait une droite quasi linéaire.

- En échelle logarithmique cette fonction trace une droite -

Puis, cette loi a été observée pour bien d’autres sujets : la taille des villes, diamètre des cratères lunaires, gravité des incendies de forêt, nombre d’espèces par genre chez les mammifères, fréquence des mots, intensité des guerres (mesurée par le nombre de morts au combat), etc.

Evidemment, cela fait penser à une autre distribution statistique : la loi normale (ou courbe de gauss).

Loi normale ( = Densité de probabilité). Loi également pratique pour définir des groupes de population.

A dire vrai, il y a un lien entre les deux types de loi (loi normale et loi de puissance). Si toutes les deux représentent des classes de phénomènes dont de la distribution aléatoire émerge des paramètres, de façon caricaturale la première représente est liée à une classe de phénomènes dont la distribution n’a pas d’axe de symétrie, alors que dans la seconde oui. Les statisticiens disent également que la première est une loi à « longue traine », contrairement à la seconde qui décroit beaucoup plus rapidement.

Autre point, un point sur lequel l’article de wikipedia n’insiste pas assez c’est que la loi de puissance ou de Pareto, n’est qu’une approximation d’une loi qui en réalité nous ne connaissons pas à ce jour réellement d’équation :

• La loi de Pareto ne fonctionne bien qu’à partir d’un certain rang X0 et jusqu’à certain degré d’erreur acceptable : o lorsque X tend vers l’infini les résultats deviennent de plus en plus mauvais. o Lorsque X<X0 les résultats sont carrément mauvais.

• partir desquelles X est choisi apparait tracer une droite sur un graphe dont les échelles sont logarithmiques n’est exacte qu’à partir d’un certain rang (x0) . Et encore ! Elle devient progressivement fausse quand X devient très grand.

Citons :

La modélisation des événements extrêmes (ouragan, tremblement de terre ou inondation, crues, crises financières, krachs, chocs pétroliers) est aujourd'hui un champ de recherches particulièrement actif, notamment par l'importance de leurs impacts économiques et sociaux. En particulier, depuis quelques années, on note un intérêt croissant pour l’application de la Théorie des Valeurs Extrêmes (TVE) pour la modélisation de tels événements. Pour une présentation assez complète du sujet, nous renvoyons à l’ouvrage de référence de Embrechts, Klüppelberg et Mikosch [1997]

• Ce qu’il y a d’amusant La loi de pareto est une fonction qui est peut être décrit par des distributions La distribution réelle est en quelque sorte « insaisissable » puisque située

En réalité, je suis directement parti d’une modélisation statistiques sur les tremblements de terre, et j’ai travaillé directement à partir d’une approximation proposée plus loin dans cet article. Mais ouvrons une parenthèse à ce sujet.

En fait on trouvera que tout un ensemble de phénomène peut-être traduit par une loi de puissance :

Sur un graphique aux échelles logarithmiques, le graphe d'une loi de puissance est une droite. En effet, la relation ci-dessus peut s'écrire :

croissant pour l’application de la

• Ce qu’il y a d’amusant La loi de pareto est une fonction qui est peut être décrit par des distributions La distribution réelle est en quelque sorte « insaisissable » puisque située

c'est-à-dire une loi de puissance

Densité de probabilité

Il y a donc un lien avec la loi de gauss :

Elle est bien connue dans le domaine économique, puisqu’historiquement, c’est dans ce domaine que Pareto avait découvert que 20% de la population possédait 80% de la richesse de son pays… Ensuite elle a été appliquée à bien d’autres domaines.

Citons : la taille des villes ; la force des tremblements de terre ; le diamètre des cratères à la surface de la lune ; la gravité des incendies de forêt ; le nombre d’espèces par genre dans la classification des mammifères. Mais aussi : la fréquence d’utilisation des mots (classés d’abord par fréquence d’utilisation décroissante) ; l’intensité des guerres (mesurée par le nombre de morts au combat) ; la répartition des noms de famille (classés du plus fréquent au moins fréquent) etc.

Depuis quelques années l’étude des réseaux informatiques, dont on observe la topologie, la croissance et le fonctionnement comme on observe des phénomènes physiques, a fait découvrir un nombre important de nouvelles lois à longue traîne. Citons : le nombre de liens pointant sur une page internet, la taille des fichiers qui circulent sur un réseau, le taux de fréquentation d’une page donnée, etc.

Dans le cas des tremblements de terre et les crues, mais elle parait s’y appliquer également : • Characterization of the frequency of extreme earthquake events by the Generalized Pareto Distribution •

Nous pouvons nous douter que la répartition des tremblements de terre